তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা এবং রাউন্ডিং অফ (Significant figures and Rounding off)

 তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা এবং রাউন্ডিং
Significant figures and Rounding off

 👉 তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা (Significant figures): 

✪ তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা (Significant figures): কোনো ভৌত রাশির পরিমাপ করে প্রাপ্ত পাঠে যতগুলি অংক সংখ্যা পর্যন্ত সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত হওয়া যায় তার পরবর্তী অংক পর্যন্ত অংক গুলিকে তাৎপর্যপূর্ণ অংক বা সার্থক সংখ্যা ধরা হয়।

✪ Significant figures: the result of a measurement is a number, that includes all digits that are reliable plus the first uncertain digit. The reliable digits plus the first uncertain digit are known as significant digits or significant figures.

 👉 তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যর নিয়মাবলী ( Rules of significant figures):

 ● সমস্ত অশূন্য অঙ্কই তাৎপর্যপূর্ণ (all the non-zero digits are significant)

     1234 → 4 Significant figures ( 4 sf)

     35282 → 5 Significant figures ( 5 sf)

 ● দুটি অশূন্য অঙ্কের মধ্যবর্তী সমস্ত শূন্যই তাৎপর্যপূর্ণ, দশমিক বিন্দু যেখানেই থাক না কেন (All the zeroes between two non-zero digits are significant, no matter where the decimal point is, if at all.) 

Numbers	Significant figures
20.003	5
1004	4
300.002	6
100.1	4
101	3
500.2	4
2.0041	5
2101	4

● কোনো সংখ্যার সামনের শূন্যগুলি তাৎপর্যপূর্ণ নয় (Initial/ Leading zeroes are not significant) 

Numbers	Significant figures
0.00579	3
0.001	1
0.0021	2
0.321	3
0.0325	3
0.0204	3
0.02005	4
0.021001	5

● কোনো সংখ্যার শেষের শূন্যগুলি তাৎপর্যপূর্ণ যদি তারা দশমিক বিন্দুর পরে থাকে (Ending zeroes are significant, if they appear after decimal point) 

Numbers	Significant figures
2.00	3
200	1
1400	2
20.00	4
3.120	4
0.003020	4
1310.00	6
131000	3

● প্রাকৃতিক রাশির মানের ক্রম কখনই তাৎপর্যপূর্ণ নয় (Order of magnitude of the physical quantity is never significant)

Numbers		Significant figures
200	`2\times10^2`	1 sf
1200	`12\times10^2`	2 sf
`2.1\times10^3`		2 sf
`2.020\times10^5`		4 sf

● এককের পরিবর্তনে তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যর  পরিবর্তনে হয় না (While changing unit no. of significant figures remains same.) 

.......	.......
1.5 m  ( 2 sf)	= 150 cm    (2 sf)
2.0 km  ( 2 sf)	= 2000 m      (1 Sf)     wrong   = `2.0\times10^3` m       (2 sf)     right

Q  Q ) Write the number of significant figures in a) 212 b) 2.120 c) 2.0042 d) 3.10020 e) 310.00 f) 3200 g) 4.10 h) 0.005

Numbers	Significant figures
212	3
2.120	4
2.0042	5
3.10020	6
310.00	5
3200	2
4.10	3
0.005	1

👉 অনিশ্চিত অংকগুলির রাউন্ডিং ( Rounding off uncertain digits):

➤ প্রায়শই আমরা প্রচুর অংক সহ সংখ্যা দেখি এবং সেগুলিকে সার্থক সংখ্যায় পরিণত করতে হয়। এই প্রক্রিয়াটিকে রাউন্ডিং অফ বলা হয় (Frequently we come across numbers with a large number of digits and it is necessary to cut them to a usable number of figures. This process is called rounding off).

➤ নিম্নলিখিত নিয়ম অনুযায়ী রাউন্ডিং অফ করা হয় (The numbers are rounded off according to the following rules.):

❶ উপেক্ষণীয় অঙ্কগুলি ফলাফল থেকে বাদ দেওয়া হয় যদি সেগুলি দশমিক বিন্দুর পরে উপস্থিত হয়। সেগুলি দশমিক বিন্দুর বাম দিকে উপস্থিত হলে শূন্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

The negligible digits are dropped from the result if they appear after the decimal point. They are replaced by zeroes if they appear on the left side of the decimal point.

❷  যদি উপেক্ষণীয় অংকটি 5 অপেক্ষা বেশি হয়, তবে পূর্ববর্তী অংকের সঙ্গে 1 যোগ করা হয়। অংকটি যদি 5 অপেক্ষা কম হয়, তবে পূর্ববর্তী অংকটি অপরিবর্তিত থাকে।

If the negligible digit is greater than 5, then 1 is added to the previous number. If the number is less than 5, the previous number remains unchanged.

❸ যদি উপেক্ষণীয় অঙ্কটি ঠিক 5 হয়, তবে পূর্ববর্তী অংকের সাথে 1 যোগ করা হয়, যদি পূর্ববর্তী অঙ্কটি অযুগ্ম হয় এবং যুগ্ম হলে অপরিবর্তিত থাকে।

If the negligible digit is exactly 5, then 1 is added to the previous number if it is odd and is left unchanged if it is even.

➤ Example 1:

Numbers	Rounded off to three significant digits	Remarks
12465	12500	The digit following 4 is 6 > 5
12.745	12.7	The digit following 7 is 4 < 5
13.750	13.8	The digit following 7 (odd) is exactly 5
13.650 `times10^6`	13.6 `times10^6`	The digit following 6 (even) is exactly  5

➤ Example 2:

Numbers	Rounded off to 3 sf	Rounded off to 4 sf	Rounded off to 5 sf
00.522341	00.522 (∵ 3 < 5)	00.5223 (∵ 4 < 5)	00.52234 (∵ 1 < 5)
93.2155	93.2 (∵ 1 < 5)	93.22 (∵ 1 is odd)	93.216 (∵ 5 is odd)
00.666666	00.667 (∵ 6  > 5)	00.6667 (∵ 6  > 5)	00.66667 (∵ 6  > 5)
123.0526	123 (∵ 0 < 5)	123.1  (∵ 5 = 5)	123.05 (∵ 2 < 5)

➤ Example 3:

Numbers	Rounded off to four significant digits	Remarks
9.6782	9.678	The digit following 8 is 2 < 5
29.1568	29.16	The digit following 5 is 6 > 5
8.24159	8.242	The digit following 1 (odd) is exactly 5
30.0567	30.06	The digit following 5 is 6 > 5
1.6583	1.658	The digit following 8 is 3 < 5
0.859378	0.8594	The digit following 3 is 7 > 5
3.14159	3.142	The digit following 1 (odd) is exactly 5

➤ Example 4:

Numbers	Rounded off to five significant digits	Remarks
4632925	46329	The digit following 9 is 2 < 5
0.356129	0.35613	The digit following 2 is 9 > 5
0.00324555	0.0032456	The digit following 5 (odd) is exactly 5
0.0859372	0.085937	The digit following 7 is 2 < 5
2.955651	2.9556	The digit following 6 (even) is exactly 5

👉 তাৎপর্যপূর্ণ অংকসহ পাটিগণিতের প্রক্রিয়াগুলোর নিয়মাবলী ( Rules for arithmetic operations with significant figures):

1) গুণ বা ভাগের ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফলটির সার্থক সংখা সবচেয়ে কম সার্থক সংখা বিশিষ্ট মূল সংখ্যায় সমান 'round off' হওয়া উচিত (In multiplication or division, the final result should be rounded off to the same number of significant figures as present in the value with the least significant figure)

➤ Examples:

❶ 2.1 (2 sf) `times` 2.1 (2 sf) = 4.41 (3 sf)  = (rounded off to 2 sf) 4.4 (final answer)

❷ 142.06 (5 sf) `times` 0.23 (2 sf) = 32.6728 (6 sf)  = (rounded off to 2 sf) 33 (final answer)

❸ 0.90 (2 sf) `/`4.26 (3 sf) = 0.21126 (5 sf)  = (rounded off to 2 sf) 0.21  (final answer)

2) যোগ বা বিয়োগের ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে যে সংখ্যাটির দশমিক চিহ্নের পরের অংকসংখ্যা সবচেয়ে কম, চূড়ান্ত ফলাফলটিতে দশমিক চিহ্নের পরের  অংকসংখ্যা 'round off' করে তার সমান  করা উচিত ( In addition or subtraction, the final result should be rounded off to the same number of decimal places as present in the value with the least decimal places)

➤ Examples:

❶ 2.24 (2 decimal place) + 0.3 (1 decimal place) = 2.54 (2 decimal place) = (rounded off to 1 decimal place) = 2.5 (final answer)

❷ 0.331 (3 decimal place) + 1.12 (2 decimal place) + 0.03 (2 decimal place) = 1.481 (2 decimal place)  = (rounded off to 2 decimal place) 1.48 (final answer)

❸ 1.4 kg (1 decimal place) + 1.32 g (2 decimal place) = 1.4 kg (1 decimal place) + 0.00132 kg (5 decimal place) = 1.40132 kg (5 decimal place)  = (rounded off to 1 decimal place) 1.4 kg (1 decimal place)